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नीचे लघुगणकीय फलनों के समाकलों की सूची दी गयी है।

ध्यान दें : इस पूरे लेख में यह माना गया है कि x > 0। इसके अलावा समाकलन स्थिरांक को लिखने के बजाय छोड दिया गया है।

केवल लघुगणकीय फलन वाले समाकल

∫loga⁡xdx=xln⁡x−xln⁡adisplaystyle int log _ax,dx=frac xln x-xln a

∫ln⁡(ax)dx=xln⁡(ax)−xdisplaystyle int ln(ax),dx=xln(ax)-x

∫ln⁡(ax+b)dx=(ax+b)ln⁡(ax+b)−axadisplaystyle int ln(ax+b),dx=frac (ax+b)ln(ax+b)-axa

∫(ln⁡x)2dx=x(ln⁡x)2−2xln⁡x+2xdisplaystyle int (ln x)^2,dx=x(ln x)^2-2xln x+2x

∫(ln⁡x)ndx=x∑k=0n(−1)n−kn!k!(ln⁡x)kdisplaystyle int (ln x)^n,dx=xsum _k=0^n(-1)^n-kfrac n!k!(ln x)^k

∫dxln⁡x=ln⁡|ln⁡x|+ln⁡x+∑k=2∞(ln⁡x)kk⋅k!+ln x+sum _k=2^infty frac (ln x)^kkcdot k!

∫dxln⁡x=li⁡(x)displaystyle int frac dxln x=operatorname li (x), the logarithmic integral.

∫dx(ln⁡x)n=−x(n−1)(ln⁡x)n−1+1n−1∫dx(ln⁡x)n−1(for n≠1)displaystyle int frac dx(ln x)^n=-frac x(n-1)(ln x)^n-1+frac 1n-1int frac dx(ln x)^n-1qquad mbox(for nneq 1mbox)

लघुगणक तथा घात वाले फलनों के समाकलन

∫xmln⁡xdx=xm+1(ln⁡xm+1−1(m+1)2)(for m≠−1)displaystyle int x^mln x,dx=x^m+1left(frac ln xm+1-frac 1(m+1)^2right)qquad mbox(for mneq -1mbox)

∫xm(ln⁡x)ndx=xm+1(ln⁡x)nm+1−nm+1∫xm(ln⁡x)n−1dx(for m≠−1)displaystyle int x^m(ln x)^n,dx=frac x^m+1(ln x)^nm+1-frac nm+1int x^m(ln x)^n-1dxqquad mbox(for mneq -1mbox)

∫(ln⁡x)ndxx=(ln⁡x)n+1n+1(for n≠−1)displaystyle int frac (ln x)^n,dxx=frac (ln x)^n+1n+1qquad mbox(for nneq -1mbox)

∫ln⁡xndxx=(ln⁡xn)22n(for n≠0)displaystyle int frac ln x^n,dxx=frac (ln x^n)^22nqquad mbox(for nneq 0mbox)

∫ln⁡xdxxm=−ln⁡x(m−1)xm−1−1(m−1)2xm−1(for m≠1)displaystyle int frac ln x,dxx^m=-frac ln x(m-1)x^m-1-frac 1(m-1)^2x^m-1qquad mbox(for mneq 1mbox)

∫(ln⁡x)ndxxm=−(ln⁡x)n(m−1)xm−1+nm−1∫(ln⁡x)n−1dxxm(for m≠1)displaystyle int frac (ln x)^n,dxx^m=-frac (ln x)^n(m-1)x^m-1+frac nm-1int frac (ln x)^n-1dxx^mqquad mbox(for mneq 1mbox)

∫xmdx(ln⁡x)n=−xm+1(n−1)(ln⁡x)n−1+m+1n−1∫xmdx(ln⁡x)n−1(for n≠1)displaystyle int frac x^m,dx(ln x)^n=-frac x^m+1(n-1)(ln x)^n-1+frac m+1n-1int frac x^mdx(ln x)^n-1qquad mbox(for nneq 1mbox)

∫dxxln⁡x=ln⁡|ln⁡x|

∫dxxln⁡xln⁡ln⁡x=ln⁡|ln⁡|ln⁡x||, etc.

∫dxxln⁡ln⁡x=li⁡(ln⁡x)displaystyle int frac dxxln ln x=operatorname li (ln x)

∫dxxnln⁡x=ln⁡|ln⁡x|+∑k=1∞(−1)k(n−1)k(ln⁡x)kk⋅k!+sum _k=1^infty (-1)^kfrac (n-1)^k(ln x)^kkcdot k!

∫dxx(ln⁡x)n=−1(n−1)(ln⁡x)n−1(for n≠1)displaystyle int frac dxx(ln x)^n=-frac 1(n-1)(ln x)^n-1qquad mbox(for nneq 1mbox)

∫ln⁡(x2+a2)dx=xln⁡(x2+a2)−2x+2atan−1⁡xadisplaystyle int ln(x^2+a^2),dx=xln(x^2+a^2)-2x+2atan ^-1frac xa

∫xx2+a2ln⁡(x2+a2)dx=14ln2⁡(x2+a2)displaystyle int frac xx^2+a^2ln(x^2+a^2),dx=frac 14ln ^2(x^2+a^2)

लघुगणकीय तथा त्रिकोणमितीय फलनों से युक्त फलनों के समाकलन

∫sin⁡(ln⁡x)dx=x2(sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x))displaystyle int sin(ln x),dx=frac x2(sin(ln x)-cos(ln x))

∫cos⁡(ln⁡x)dx=x2(sin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x))displaystyle int cos(ln x),dx=frac x2(sin(ln x)+cos(ln x))

Integrals involving logarithmic and exponential functions

∫ex(xln⁡x−x−1x)dx=ex(xln⁡x−x−ln⁡x)displaystyle int e^xleft(xln x-x-frac 1xright),dx=e^x(xln x-x-ln x)

∫1ex(1x−ln⁡x)dx=ln⁡xexdisplaystyle int frac 1e^xleft(frac 1x-ln xright),dx=frac ln xe^x

∫ex(1ln⁡x−1x(ln⁡x)2)dx=exln⁡xdisplaystyle int e^xleft(frac 1ln x-frac 1x(ln x)^2right),dx=frac e^xln x

n क्रमागत समाकल

ndisplaystyle n क्रमागत समाकल (consecutive integrations) के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करने पर

∫ln⁡xdx=x(ln⁡x−1)+C0displaystyle int ln x,dx=x(ln x-1)+C_0

निम्नलिखित सामान्यीकरण प्राप्त होता है-

∫⋯∫ln⁡xdx⋯dx=xnn!(lnx−∑k=1n1k)+∑k=0n−1Ckxkk!displaystyle int dotsi int ln x,dxdotsm dx=frac x^nn!left(ln ,x-sum _k=1^nfrac 1kright)+sum _k=0^n-1C_kfrac x^kk!

सन्दर्भ

• 
  Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. A few integrals are listed on page 69.

इन्हें भी देखें

• समाकल सूची